先人の言葉を拝聴すると、冷蔵庫は不適当とされています。発酵が進まないからでしょうか。良く分かりません。梅はクエン酸ですっぱいので発酵してすっぱいのではありませんね。発酵食品ではない。
一般の家で、10度以下の場所となると、床収納、パントリーあたりが候補になります。目が届きません。返って、カビを呼び込んでしまいそうです。ただ、冷蔵庫に余裕がなければ長期保存モードになったらこのような場所を利用していいです。漬け込み開始の時はカビ対策が途上ですから注意が必要です。
結論としては冷蔵庫で十分というか冷蔵庫こそがベストと思います。野菜室を利用します。こまめに面倒を見る初期段階は冷蔵庫保管は必須ですね。